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Institut für Theoretische Physik II: Weiche Materie - HHU Düsseldorf
Fortgeschrittenen-Praktikum: Weiche Materie - Torte
Motivation
Packungsprobleme spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik. Dabei geht
es um das effiziente Füllen des Raumes oder der Ebene mit vorgegebenen
Formen. Da dichte Packungen eine enge Beziehung zu hoher Entropie eines
physikalischen Systems haben, lernt man physikalisch viel aus ihrer Kenntnis.
In der mesoskopischen Physik lässt sich eine Vielzahl von geometrischen
Formen, wie Stäbchen oder Würfel experimentell präparieren. Diese mikrometergrossen
Teilchen kann man in einer Flüssigkeit schweben lassen und dann ihr Verhalten
studieren. Man kann diese kolloidalen Teilchen z.B. auch in Poren
einschliessen und sich für ihre Anordnung innerhalb der Poren interessieren.
Man hat dann ein Container-Packungsproblem. Hier kommt eines.
Modell
Betrachte N Kreissektoren mit Radius A und Öffnungswinkel 2 Pi/N.
Die Wechselwirkung zwischen jeweils zwei Sektoren sei so beschaffen, dass
beide nicht überlappen dürfen. Diese "Teilchen" seien in einen
Kreis mit Radius B eingeschlossen.
Aufgaben
- Wie lautet die Überlappbedingung für zwei Teilchen in obigem Modell?
- Wie sieht eine Konfigurationen aus, wenn (1) B>>A gilt, wenn (2) das nicht gilt, wenn (3) das Gegenteil gilt.
- Finde mit Computer-Simulation heraus, wann die Torte bricht.
- Finde mit Denken heraus, was die Formulierung in Aufgabe 3. bedeutet. Benutze dazu das Ergebnis von Aufgabe 2.
Bemerkung
Aufgabe 1 ist schwer, Aufgabe 3 das Ziel des Versuchs.